例1

设a>b>0a>b>0a>b>0，证明：a−ba

证：
\qquad令f(x)=ln⁡xf(x)=\ln xf(x)=lnx，x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)x∈(0,+∞)，xxx在[b,a][b,a][b,a]上连续，在(b,a)(b,a)(b,a)内可导

\qquad由拉格朗日中值定理得，∃ξ∈(b,a)\exist\xi\in(b,a)∃ξ∈(b,a)，使得f(a)−f(b)a−b=f′(ξ)\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(\xi)a−bf(a)−f(b)​=f′(ξ)

\qquad所以ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b=f′(ξ)(a−b)\ln\dfrac ab=\ln a-\ln b=f'(\xi)(a-b)lnba​=lna−lnb=f′(ξ)(a−b)

∵f′(x)=1x\qquad \because f'(x)=\dfrac{1}{x}∵f′(x)=x1​在(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞)上是单调递减函数，b<ξ

∴f′(a)

\qquad得证a−ba

例2

证明：对于任何实数a,ba,ba,b，∣arctan⁡b−arctan⁡a∣≤∣b−a∣|\arctan b-\arctan a|\leq|b-a|∣arctanb−arctana∣≤∣b−a∣恒成立。

证：
∵arctan⁡x\qquad \because \arctan x∵arctanx是单调递增函数

∴\qquad \therefore∴不妨设a

arctan⁡x\qquad \arctan xarctanx在[a,b][a,b][a,b]上连续，在(a,b)(a,b)(a,b)内可导

\qquad由拉格朗日中值定理得∃ξ∈(a,b)\exist\xi\in(a,b)∃ξ∈(a,b)，使得arctan⁡b−arctan⁡ab−a≤(arctan⁡ξ)′=11+ξ2\dfrac{\arctan b-\arctan a}{b-a}\leq (\arctan \xi)'=\dfrac{1}{1+\xi^2}b−aarctanb−arctana​≤(arctanξ)′=1+ξ21​

∵11+ξ2≤1\qquad \because \dfrac{1}{1+\xi^2}\leq 1∵1+ξ21​≤1

∴arctan⁡b−arctan⁡ab−a≤1\qquad \therefore \dfrac{\arctan b-\arctan a}{b-a}\leq 1∴b−aarctanb−arctana​≤1，即arctan⁡b−arctan⁡a≤b−a\arctan b-\arctan a\leq b-aarctanb−arctana≤b−a

\qquad得证∣arctan⁡b−arctan⁡a∣≤∣b−a∣|\arctan b-\arctan a|\leq|b-a|∣arctanb−arctana∣≤∣b−a∣