此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
自动控制原理(第七版)知识提炼
自动控制原理(第七版)课后习题精选
自动控制原理(第七版)附录MATLAB基础

第九章：线性系统的状态空间分析与综合

Example 9.21

试求下列各系统的传递函数矩阵或传递函数向量：

1. A=[−2210−201−40]，b=[00−1]，c=[1−11]，d=1A=\begin{bmatrix}-2&2&1\\0&-2&0\\1&-4&0\end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix}1&-1&1\end{bmatrix}，d=1A=⎣⎡​−201​2−2−4​100​⎦⎤​，b=⎣⎡​00−1​⎦⎤​，c=[1​−1​1​]，d=1；
2. A=[010001−6−11−6]，B=[263511]，c=[001]，d=0A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-6&-11&-6\end{bmatrix}，B=\begin{bmatrix}2&6\\3&5\\1&1\end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}，d=0A=⎣⎡​00−6​10−11​01−6​⎦⎤​，B=⎣⎡​231​651​⎦⎤​，c=[0​0​1​]，d=0；
3. A=[010001230]，B=[100−101]，C=[−2−1121−1]，D=[0110]A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\2&3&0\end{bmatrix}，B=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\0&1\end{bmatrix}，C=\begin{bmatrix}-2&-1&1\\2&1&-1\end{bmatrix}，D=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}A=⎣⎡​002​103​010​⎦⎤​，B=⎣⎡​100​0−11​⎦⎤​，C=[−22​−11​1−1​]，D=[01​10​]；
4. A=[01−2−3]，B=[1011]，C=[2111−2−1]，D=[300001]A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}，B=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}，C=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\\-2&-1\end{bmatrix}，D=\begin{bmatrix}3&0\\0&0\\0&1\end{bmatrix}A=[0−2​1−3​]，B=[11​01​]，C=⎣⎡​21−2​11−1​⎦⎤​，D=⎣⎡​300​001​⎦⎤​；

解：

系统传递函数矩阵：G(s)=C(sI−A)−1B+DG(s)=C(sI-A)^{-1}B+DG(s)=C(sI−A)−1B+D；

系统传递函数向量：g(s)=c(sI−A)−1B+dg(s)=c(sI-A)^{-1}B+dg(s)=c(sI−A)−1B+d；

【系统1】
(sI−A)−1=1(s+2)(s2+2s−1)[s(s+2)2s−4s+20s2+2s−10s+2−4s−6(s+2)2](sI-A)^{-1}=\frac{1}{(s+2)(s^2+2s-1)}\begin{bmatrix} s(s+2) & 2s-4 & s+2\\ 0 & s^2+2s-1 & 0\\ s+2 & -4s-6 & (s+2)^2 \end{bmatrix} (sI−A)−1=(s+2)(s2+2s−1)1​⎣⎡​s(s+2)0s+2​2s−4s2+2s−1−4s−6​s+20(s+2)2​⎦⎤​
则
G(s)=c(sI−A)−1b+d=1+−s−3s2+2s−1=s2+s−4s2+2s−1G(s)=c(sI-A)^{-1}b+d=1+\frac{-s-3}{s^2+2s-1}=\frac{s^2+s-4}{s^2+2s-1} G(s)=c(sI−A)−1b+d=1+s2+2s−1−s−3​=s2+2s−1s2+s−4​
【系统2】
(sI−A)−1=1s3+6s2+11s+6[s2+6s+11s+61−6s2+6ss−6s−11s−6s2](sI-A)^{-1}=\frac{1}{s^3+6s^2+11s+6}\begin{bmatrix} s^2+6s+11 & s+6 & 1\\ -6 & s^2+6s & s\\ -6s & -11s-6 & s^2 \end{bmatrix} (sI−A)−1=s3+6s2+11s+61​⎣⎡​s2+6s+11−6−6s​s+6s2+6s−11s−6​1ss2​⎦⎤​
则
g(s)=c(sI−A)−1B+d=[s2−45s−18s3+6s2+11s+6s2−91s−30s3+6s2+11s+6]g(s)=c(sI-A)^{-1}B+d=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{s^2-45s-18}{s^3+6s^2+11s+6} & \displaystyle\frac{s^2-91s-30}{s^3+6s^2+11s+6} \end{bmatrix} g(s)=c(sI−A)−1B+d=[s3+6s2+11s+6s2−45s−18​​s3+6s2+11s+6s2−91s−30​​]
【系统3】
(sI−A)−1=1s3−3s−2[s2−3s12s2s2s3s+2s2](sI-A)^{-1}=\frac{1}{s^3-3s-2}\begin{bmatrix} s^2-3 & s & 1\\ 2 & s^2 & s\\ 2s & 3s+2 & s^2 \end{bmatrix} (sI−A)−1=s3−3s−21​⎣⎡​s2−322s​ss23s+2​1ss2​⎦⎤​
则
G(s)=C(sI−A)−1B+D=[−2s2+2s+4s3−3s−22s2−2s−3s3−3s−22s2−2s−3s3−3s−2−2s2+2s+4s3−3s−2]G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{-2s^2+2s+4}{s^3-3s-2} & \displaystyle\frac{2s^2-2s-3}{s^3-3s-2}\\\\ \displaystyle\frac{2s^2-2s-3}{s^3-3s-2} & \displaystyle\frac{-2s^2+2s+4}{s^3-3s-2} \end{bmatrix} G(s)=C(sI−A)−1B+D=⎣⎢⎢⎢⎡​s3−3s−2−2s2+2s+4​s3−3s−22s2−2s−3​​s3−3s−22s2−2s−3​s3−3s−2−2s2+2s+4​​⎦⎥⎥⎥⎤​
【系统4】
(sI−A)−1=1(s+1)(s+2)[s+31−2s](sI-A)^{-1}=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix} s+3 & 1\\ -2 & s \end{bmatrix} (sI−A)−1=(s+1)(s+2)1​[s+3−2​1s​]
则
G(s)=C(sI−A)−1B+D=[3(s+3)(s+1)(s+2)1s+12s+21s+2−3s+1−1s+2]G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{3(s+3)}{(s+1)(s+2)} & \displaystyle\frac{1}{s+1}\\\\ \displaystyle\frac{2}{s+2} & \displaystyle\frac{1}{s+2}\\\\ -\displaystyle\frac{3}{s+1} & -\displaystyle\frac{1}{s+2} \end{bmatrix} G(s)=C(sI−A)−1B+D=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​(s+1)(s+2)3(s+3)​s+22​−s+13​​s+11​s+21​−s+21​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

Example 9.22

一个运行在圆形赤道上方的人造地球卫星的线性动态方程为：
x˙=Ax+Bu=[01003ω2002ω00010−2ω00]x+[00100001]uy=Cx=[10000010]x\begin{aligned} \dot{x}&=Ax+Bu=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 3\omega^2 & 0 & 0 & 2\omega\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & -2\omega & 0 & 0 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}u\\\\ y&=Cx=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}x \end{aligned} x˙y​=Ax+Bu=⎣⎢⎢⎡​03ω200​100−2ω​0000​02ω10​⎦⎥⎥⎤​x+⎣⎢⎢⎡​0100​0001​⎦⎥⎥⎤​u=Cx=[10​00​01​00​]x​
其中，ω\omegaω为人造卫星绕地球转动的角速度。
x=[rr˙θθ˙]；u=[uruθ]；y=[rθ]x=\begin{bmatrix} r\\ \dot{r}\\ \theta\\ \dot{\theta} \end{bmatrix}；u=\begin{bmatrix} u_r\\ u_{\theta} \end{bmatrix}；y=\begin{bmatrix} r\\ \theta \end{bmatrix} x=⎣⎢⎢⎡​rr˙θθ˙​⎦⎥⎥⎤​；u=[ur​uθ​​]；y=[rθ​]
其中：rrr为人造卫星与地球间的距离；θ\thetaθ为人造卫星在赤道平面内绕地球的旋转角度；uru_rur​和uθu_{\theta}uθ​分别为卫星的径向和切线推力。研究卫星的可控性。

解：

系统的可控矩阵为：
S=[BABA2B]=[001002ω1002ω−ω200001−2ω001−2ω00−4ω2]S=\begin{bmatrix} B & AB & A^2B \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2\omega\\ 1 & 0 & 0 & 2\omega & -\omega^2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\omega & 0\\ 0 & 1 & -2\omega & 0 & 0 & -4\omega^2 \end{bmatrix} S=[B​AB​A2B​]=⎣⎢⎢⎡​0100​0001​100−2ω​02ω10​0−ω2−2ω0​2ω00−4ω2​⎦⎥⎥⎤​
由于
det⁡[00101002ω000101−2ω0]=−1≠0\det\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 2\omega\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -2\omega & 0 \end{bmatrix}=-1≠0 det⎣⎢⎢⎡​0100​0001​100−2ω​02ω10​⎦⎥⎥⎤​=−1​=0
所以rankS=4{\rm rank}S=4rankS=4，系统可控。

现假定切线方向变成不可操纵的，即uθ=0u_{\theta}=0uθ​=0.在这种情况下，仅仅利用径向推力uru_rur​能否保证卫星绕地球正常运行？

uθ=0u_{\theta}=0uθ​=0时系统状态方程：
x˙=Ax+brur=[01003ω2002ω00010−2ω00]x+[0100]ur\dot{x}=Ax+b_ru_r=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 3\omega^2 & 0 & 0 & 2\omega\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & -2\omega & 0 & 0 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}u_r x˙=Ax+br​ur​=⎣⎢⎢⎡​03ω200​100−2ω​0000​02ω10​⎦⎥⎥⎤​x+⎣⎢⎢⎡​0100​⎦⎥⎥⎤​ur​
可控性矩阵为：
Sr=[brAbrA2brA3br]=[010−ω210−ω2000−2ω00−2ω02ω3]S_r=\begin{bmatrix} b_r & Ab_r & A^2b_r & A^3b_r \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & -\omega^2\\ 1 & 0 & -\omega^2 & 0\\ 0 & 0 & -2\omega & 0\\ 0 & -2\omega & 0 & 2\omega^3 \end{bmatrix} Sr​=[br​​Abr​​A2br​​A3br​​]=⎣⎢⎢⎡​0100​100−2ω​0−ω2−2ω0​−ω2002ω3​⎦⎥⎥⎤​
因为det⁡Sr=0\det{S_r}=0detSr​=0.因此只用径向推力uru_rur​时卫星不可控。

假定径向推力ur=0u_r=0ur​=0，则有：
x˙=Ax+bθuθ=[01003ω2002ω00010−2ω00]x+[0001]uθ\dot{x}=Ax+b_{\theta}u_{\theta}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 3\omega^2 & 0 & 0 & 2\omega\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & -2\omega & 0 & 0 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}u_{\theta} x˙=Ax+bθ​uθ​=⎣⎢⎢⎡​03ω200​100−2ω​0000​02ω10​⎦⎥⎥⎤​x+⎣⎢⎢⎡​0001​⎦⎥⎥⎤​uθ​
可控性矩阵为：
Sθ=[bθAbθA2bθA3bθ]=[002ω002ω0−2ω3010−4ω210−4ω20]S_{\theta}=\begin{bmatrix} b_{\theta} & Ab_{\theta} & A^2b_{\theta} & A^3b_{\theta} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 2\omega & 0\\ 0 & 2\omega & 0 & -2\omega^3\\ 0 & 1 & 0 & -4\omega^2\\ 1 & 0 & -4\omega^2 & 0 \end{bmatrix} Sθ​=[bθ​​Abθ​​A2bθ​​A3bθ​​]=⎣⎢⎢⎡​0001​02ω10​2ω00−4ω2​0−2ω3−4ω20​⎦⎥⎥⎤​
因为det⁡Sθ=−12ω4≠0\det{S}_{\theta}=-12\omega^4≠0detSθ​=−12ω4​=0.因此只有切线方向推力的卫星是可控的。

Example 9.23

已知系统的动态方程为：
x˙(t)=[−1011−21003]x(t)+[1−10]u(t)，y(t)=[101]x(t)\dot{x}(t)=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix} 1\\-1\\0 \end{bmatrix}u(t)，y(t)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}x(t) x˙(t)=⎣⎡​−110​0−20​113​⎦⎤​x(t)+⎣⎡​1−10​⎦⎤​u(t)，y(t)=[1​0​1​]x(t)
试求系统的传递函数；将系统状态方程作对角化变换，求出变换矩阵PPP，并判断系统是否可控和可观测。

解：

【求传递函数】

由于
(sI−A)−1=1(s+1)(s+2)(s+3)[(s+2)(s−3)0s+2s−3(s+1)(s−3)s+200(s+1)(s+2)](sI-A)^{-1}=\frac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)}\begin{bmatrix} (s+2)(s-3) & 0 & s+2\\ s-3 & (s+1)(s-3) & s+2\\ 0 & 0 & (s+1)(s+2) \end{bmatrix} (sI−A)−1=(s+1)(s+2)(s+3)1​⎣⎡​(s+2)(s−3)s−30​0(s+1)(s−3)0​s+2s+2(s+1)(s+2)​⎦⎤​
故系统传递函数为：
G(s)=c(sI−A)−1b=(s+2)(s−3)(s+1)(s+2)(s−3)=1s+1G(s)=c(sI-A)^{-1}b=\frac{(s+2)(s-3)}{(s+1)(s+2)(s-3)}=\frac{1}{s+1} G(s)=c(sI−A)−1b=(s+1)(s+2)(s−3)(s+2)(s−3)​=s+11​
存在零极点对消，故系统不完全可控可观测。

【对角化变换】

由于AAA阵存在三个互异的特征值：λ1=−1，λ2=−2，λ3=3\lambda_1=-1，\lambda_2=-2，\lambda_3=3λ1​=−1，λ2​=−2，λ3​=3，由Api=λipi，i=1,2,3Ap_i=\lambda_ip_i，i=1,2,3Api​=λi​pi​，i=1,2,3，可分别求出其对应的特征向量为：
p1=[110]，p1=[010]，p1=[114]，P=[101111004]，P−1=14[40−1−440001]p_1=\begin{bmatrix} 1\\1\\0 \end{bmatrix}，p_1=\begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}，p_1=\begin{bmatrix} 1\\1\\4 \end{bmatrix}，P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}，P^{-1}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 4 & 0 & -1\\ -4 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} p1​=⎣⎡​110​⎦⎤​，p1​=⎣⎡​010​⎦⎤​，p1​=⎣⎡​114​⎦⎤​，P=⎣⎡​110​010​114​⎦⎤​，P−1=41​⎣⎡​4−40​040​−101​⎦⎤​
取
x‾˙=P−1APx‾+P−1bu=[−1000−20003]x‾+[1−20]u，y=cPx‾=[105]x‾\dot{\overline{x}}=P^{-1}AP\overline{x}+P^{-1}bu=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\overline{x}+\begin{bmatrix} 1\\-2\\0 \end{bmatrix}u，y=cP\overline{x}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \end{bmatrix}\overline{x} x˙=P−1APx+P−1bu=⎣⎡​−100​0−20​003​⎦⎤​x+⎣⎡​1−20​⎦⎤​u，y=cPx=[1​0​5​]x
【判断可控性与可观测性】

对应极点333的状态x‾3\overline{x}_3x3​不可控，对应极点−2-2−2的状态x‾2\overline{x}_2x2​不可观测，故系统不完全可控且不完全可观测。

Example 9.24

试将系统(A,B,C,D)(A,B,C,D)(A,B,C,D)化为约当标准型或对角标准型，并求出相应的基底变换矩阵PPP：

解：

【系统1】
A=[01−1−6−116−6−115]，b=[−121]，C=[10001−1]，d=[2−1]A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & -1\\ -6 & -11 & 6\\ -6 & -11 & 5 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} -1\\2\\1 \end{bmatrix}，C=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}，d=\begin{bmatrix} 2\\-1 \end{bmatrix} A=⎣⎡​0−6−6​1−11−11​−165​⎦⎤​，b=⎣⎡​−121​⎦⎤​，C=[10​01​0−1​]，d=[2−1​]
计算可得，矩阵AAA的特征向量为：λ1=−1，λ2=−2，λ3=−3\lambda_1=-1，\lambda_2=-2，\lambda_3=-3λ1​=−1，λ2​=−2，λ3​=−3，分别对应的特征向量为：
v1=[101]，v2=[124]，v3=[169]v_1=\begin{bmatrix} 1\\0\\1 \end{bmatrix}，v_2=\begin{bmatrix} 1\\2\\4 \end{bmatrix}，v_3=\begin{bmatrix} 1\\6\\9 \end{bmatrix} v1​=⎣⎡​101​⎦⎤​，v2​=⎣⎡​124​⎦⎤​，v3​=⎣⎡​169​⎦⎤​
以上述特征向量构造基底变换矩阵PPP，并计算P−1P^{-1}P−1可得：
P=[v1v2v3]=[111026149]，P−1=[32.5−2−3−4311.5−1]P=\begin{bmatrix} v1 & v2 & v3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 6\\ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix}，P^{-1}=\begin{bmatrix} 3 & 2.5 & -2\\ -3 & -4 & 3\\ 1 & 1.5 & -1 \end{bmatrix} P=[v1​v2​v3​]=⎣⎡​101​124​169​⎦⎤​，P−1=⎣⎡​3−31​2.5−41.5​−23−1​⎦⎤​
因此，变换后的对角标准型为：
A‾=P−1AP=[−1000−2000−3]，b‾=P−1b=[0−21]C‾=CP=[111−1−2−3]，d‾=[2−1]\begin{aligned} &\overline{A}=P^{-1}AP=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}，&&\overline{b}=P^{-1}b=\begin{bmatrix} 0\\-2\\1 \end{bmatrix}\\\\ &\overline{C}=CP=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ -1 & -2 & -3 \end{bmatrix}，&&\overline{d}=\begin{bmatrix} 2\\-1 \end{bmatrix} \end{aligned} ​A=P−1AP=⎣⎡​−100​0−20​00−3​⎦⎤​，C=CP=[1−1​1−2​1−3​]，​​b=P−1b=⎣⎡​0−21​⎦⎤​d=[2−1​]​
【系统2】
A=[0100010−2−2]，B=[0−22044]，c=[001]，d=[1−1]A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -2 & -2 \end{bmatrix}，B=\begin{bmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\\ 4 & 4 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}，d=\begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix} A=⎣⎡​000​10−2​01−2​⎦⎤​，B=⎣⎡​024​−204​⎦⎤​，c=[0​0​1​]，d=[1​−1​]
计算可得，矩阵AAA的特征向量为：λ1=0，λ2=−1+j，λ3=−1−j\lambda_1=0，\lambda_2=-1+{\rm j}，\lambda_3=-1-{\rm j}λ1​=0，λ2​=−1+j，λ3​=−1−j，分别对应的特征向量为：
v1=[100]，v2=[−0.5−0.5j1−1+j]，v3=[−0.5+0.5j1−1−j]v_1=\begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}，v_2=\begin{bmatrix} -0.5-0.5{\rm j}\\ 1\\ -1+{\rm j} \end{bmatrix}，v_3=\begin{bmatrix} -0.5+0.5{\rm j}\\ 1\\ -1-{\rm j} \end{bmatrix} v1​=⎣⎡​100​⎦⎤​，v2​=⎣⎡​−0.5−0.5j1−1+j​⎦⎤​，v3​=⎣⎡​−0.5+0.5j1−1−j​⎦⎤​
以上述特征向量构造基底变换矩阵PPP，并计算P−1P^{-1}P−1可得：
P=[v1v2v3]=[1−0.5−0.5j−0.5+0.5j0110−1+j−1−j]，P−1=[110.500.5−0.5j−0.5j00.5+0.5j0.5j]P=\begin{bmatrix} v1 & v2 & v3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & -0.5-0.5{\rm j} & -0.5+0.5{\rm j}\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & -1+{\rm j} & -1-{\rm j} \end{bmatrix}，P^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0.5\\ 0 & 0.5-0.5{\rm j} & -0.5{\rm j}\\ 0 & 0.5+0.5{\rm j} & 0.5{\rm j} \end{bmatrix} P=[v1​v2​v3​]=⎣⎡​100​−0.5−0.5j1−1+j​−0.5+0.5j1−1−j​⎦⎤​，P−1=⎣⎡​100​10.5−0.5j0.5+0.5j​0.5−0.5j0.5j​⎦⎤​
因此，变换后的对角标准型为：
A‾=P−1AP=[0000−1+j000−1−j]，B‾=P−1B=[401−3j−2j1+3j2j]c‾=cP=[0−1+j−1−j]，d‾=[1−1]\begin{aligned} &\overline{A}=P^{-1}AP=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1+{\rm j} & 0\\ 0 & 0 & -1-{\rm j} \end{bmatrix}，&&\overline{B}=P^{-1}B=\begin{bmatrix} 4 & 0\\ 1-3{\rm j} & -2{\rm j}\\ 1+3{\rm j} & 2{\rm j} \end{bmatrix}\\\\ &\overline{c}=cP=\begin{bmatrix} 0 & -1+{\rm j} & -1-{\rm j} \end{bmatrix}，&&\overline{d}=\begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix} \end{aligned} ​A=P−1AP=⎣⎡​000​0−1+j0​00−1−j​⎦⎤​，c=cP=[0​−1+j​−1−j​]，​​B=P−1B=⎣⎡​41−3j1+3j​0−2j2j​⎦⎤​d=[1​−1​]​
【系统3】
A=[010001230]，b=[215]，c=[21−1]，d=0A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 2\\1\\5 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \end{bmatrix}，d=0 A=⎣⎡​002​103​010​⎦⎤​，b=⎣⎡​215​⎦⎤​，c=[2​1​−1​]，d=0
计算可得，矩阵AAA的特征向量为：λ1=λ2=−1，λ3=2\lambda_1=\lambda_2=-1，\lambda_3=2λ1​=λ2​=−1，λ3​=2，分别对应的特征向量为：
v1=[1−11]，v2=[01−2]，v3=[124]v_1=\begin{bmatrix} 1\\-1\\1 \end{bmatrix}，v_2=\begin{bmatrix} 0\\1\\-2 \end{bmatrix}，v_3=\begin{bmatrix} 1\\2\\4 \end{bmatrix} v1​=⎣⎡​1−11​⎦⎤​，v2​=⎣⎡​01−2​⎦⎤​，v3​=⎣⎡​124​⎦⎤​
以上述特征向量构造基底变换矩阵PPP，并计算P−1P^{-1}P−1可得：
P=[v1v2v3]=[101−1121−24]，P−1=19[8−2−163−3121]P=\begin{bmatrix} v1 & v2 & v3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 2\\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix}，P^{-1}=\displaystyle\frac{1}{9}\begin{bmatrix} 8 & -2 & -1\\ 6 & 3 & -3\\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} P=[v1​v2​v3​]=⎣⎡​1−11​01−2​124​⎦⎤​，P−1=91​⎣⎡​861​−232​−1−31​⎦⎤​
因此，变换后的约当标准型为：
A‾=P−1AP=[−1100−10002]，b‾=P−1b=[101]c‾=cP=[030]，d‾=0\begin{aligned} &\overline{A}=P^{-1}AP=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}，&&\overline{b}=P^{-1}b=\begin{bmatrix} 1\\0\\1 \end{bmatrix}\\\\ &\overline{c}=cP=\begin{bmatrix} 0 & 3 & 0 \end{bmatrix}，&&\overline{d}=0 \end{aligned} ​A=P−1AP=⎣⎡​−100​1−10​002​⎦⎤​，c=cP=[0​3​0​]，​​b=P−1b=⎣⎡​101​⎦⎤​d=0​
【系统4】
A=[540010−441]，B=0，C=[10001−1101020]，D=[00000110]A=\begin{bmatrix} 5 & 4 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -4 & 4 & 1 \end{bmatrix}，B=0，C=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}，D=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} A=⎣⎡​50−4​414​001​⎦⎤​，B=0，C=⎣⎢⎢⎡​1010​0102​0−110​⎦⎥⎥⎤​，D=⎣⎢⎢⎡​0001​0010​⎦⎥⎥⎤​
计算可得，矩阵AAA的特征向量为：λ1=λ2=1，λ3=5\lambda_1=\lambda_2=1，\lambda_3=5λ1​=λ2​=1，λ3​=5，分别对应的特征向量为：
v1=[008]，v2=[−11−1]，v3=[10−1]v_1=\begin{bmatrix} 0\\0\\8 \end{bmatrix}，v_2=\begin{bmatrix} -1\\1\\-1 \end{bmatrix}，v_3=\begin{bmatrix} 1\\0\\-1 \end{bmatrix} v1​=⎣⎡​008​⎦⎤​，v2​=⎣⎡​−11−1​⎦⎤​，v3​=⎣⎡​10−1​⎦⎤​
以上述特征向量构造基底变换矩阵PPP，并计算P−1P^{-1}P−1可得：
P=[v1v2v3]=[0−110108−1−1]，P−1=18[121080880]P=\begin{bmatrix} v1 & v2 & v3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 8 & -1 & -1 \end{bmatrix}，P^{-1}=\displaystyle\frac{1}{8}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 8 & 0\\ 8 & 8 & 0 \end{bmatrix} P=[v1​v2​v3​]=⎣⎡​008​−11−1​10−1​⎦⎤​，P−1=81​⎣⎡​108​288​100​⎦⎤​
因此，变换后的约当标准型为：
A‾=P−1AP=[110010005]，B‾=P−1B=0C‾=CP=[0−11−8218−20020]，D‾=[00000110]\begin{aligned} &\overline{A}=P^{-1}AP=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}，&&\overline{B}=P^{-1}B=0\\\\ &\overline{C}=CP=\begin{bmatrix} 0 & -1 & 1\\ -8 & 2 & 1\\ 8 & -2 & 0\\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}，&&\overline{D}=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} ​A=P−1AP=⎣⎡​100​110​005​⎦⎤​，C=CP=⎣⎢⎢⎡​0−880​−12−22​1100​⎦⎥⎥⎤​，​​B=P−1B=0D=⎣⎢⎢⎡​0001​0010​⎦⎥⎥⎤​​
【系统5】
A=[01000001000001000001−1−1−2−2−1]，b=[10001]，C=[10−100−20200]，d=0A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ -1 & -1 & -2 & -2 & -1 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 1\\0\\0\\0\\1 \end{bmatrix}，C=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 0\\ -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}，d=0 A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​0000−1​1000−1​0100−2​0010−2​0001−1​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​，b=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​10001​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​，C=[1−2​00​−12​00​00​]，d=0
计算可得，矩阵AAA的特征向量为：λ1=λ2=j，λ3=λ4=−j，λ5=−1\lambda_1=\lambda_2={\rm j}，\lambda_3=\lambda_4=-{\rm j}，\lambda_5=-1λ1​=λ2​=j，λ3​=λ4​=−j，λ5​=−1，分别对应的特征向量为：
v1=[1j−1−j1]，v2=[012j−3−4j]，v3=[1−j−1j1]，v4=[01−2j−34j]，v5=[1−11−11]v_1=\begin{bmatrix} 1\\ {\rm j}\\ -1\\ -{\rm j}\\ 1 \end{bmatrix}，v_2=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 2{\rm j}\\ -3\\ -4{\rm j} \end{bmatrix}，v_3=\begin{bmatrix} 1\\ -{\rm j}\\ -1\\ {\rm j}\\ 1 \end{bmatrix}，v_4=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ -2{\rm j}\\ -3\\ 4{\rm j} \end{bmatrix}，v_5=\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix} v1​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​1j−1−j1​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​，v2​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​012j−3−4j​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​，v3​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​1−j−1j1​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​，v4​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​01−2j−34j​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​，v5​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​1−11−11​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​
以上述特征向量构造基底变换矩阵PPP，并计算P−1P^{-1}P−1可得：
P=[10101j1−j1−1−12j−1−2j1−j−3j−3−11−4j14j1]，P−1=[3−2j−6j−2−4j−2j−1−2j−1−j−2−2−2−1+j3+2j6j−2+4j2j−1+2j−1+j−2−2−2−1−j20402]P= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ {\rm j} & 1 & -{\rm j} & 1 & -1\\ -1 & 2{\rm j} & -1 & -2{\rm j} & 1\\ -{\rm j} & -3 & {\rm j} & -3 & -1\\ 1 & -4{\rm j} & 1 & 4{\rm j} & 1 \end{bmatrix}，P^{-1}=\begin{bmatrix} 3-2{\rm j} & -6{\rm j} & -2-4{\rm j} & -2{\rm j} & -1-2{\rm j}\\ -1-{\rm j} & -2 & -2 & -2 & -1+{\rm j}\\ 3+2{\rm j} & 6{\rm j} & -2+4{\rm j} & 2{\rm j} & -1+2{\rm j}\\ -1+{\rm j} & -2 & -2 & -2 & -1-{\rm j}\\ 2 & 0 & 4 & 0 & 2 \end{bmatrix} P=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​1j−1−j1​012j−3−4j​1−j−1j1​01−2j−34j​1−11−11​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​，P−1=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​3−2j−1−j3+2j−1+j2​−6j−26j−20​−2−4j−2−2+4j−24​−2j−22j−20​−1−2j−1+j−1+2j−1−j2​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​
因此，变换后的约当标准型为：
A‾=P−1AP=[j10000j00000−j10000−j00000−1]，b‾=P−1b=14[1−2j−11+2j−12]C‾=CP=[2−2j22j0−44j−4−4j0]，d‾=0\begin{aligned} &\overline{A}=P^{-1}AP=\begin{bmatrix} {\rm j} & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & {\rm j} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -{\rm j} & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -{\rm j} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}，&&\overline{b}=P^{-1}b=\displaystyle\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 1-2{\rm j}\\ -1\\ 1+2{\rm j}\\ -1\\ 2 \end{bmatrix}\\\\ &\overline{C}=CP=\begin{bmatrix} 2 & -2{\rm j} & 2 & 2{\rm j} & 0\\ -4 & 4{\rm j} & -4 & -4{\rm j} & 0 \end{bmatrix}，&&\overline{d}=0 \end{aligned} ​A=P−1AP=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​j0000​1j000​00−j00​001−j0​0000−1​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​，C=CP=[2−4​−2j4j​2−4​2j−4j​00​]，​​b=P−1b=41​⎣⎢⎢⎢⎢⎡​1−2j−11+2j−12​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​d=0​

Example 9.25

判断下列连续时间系统(A,b,c)(A,b,c)(A,b,c)的可控性、可观测性和输出可控性。

解：

【系统1】
A=[−a0000−b0000−c0000−d]，b=[0011]，c=[1000]A=\begin{bmatrix} -a & 0 & 0 & 0\\ 0 & -b & 0 & 0\\ 0 & 0 & -c & 0\\ 0 & 0 & 0 & -d \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 0\\0\\1\\1 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡​−a000​0−b00​00−c0​000−d​⎦⎥⎥⎤​，b=⎣⎢⎢⎡​0011​⎦⎥⎥⎤​，c=[1​0​0​0​]
由于AAA为对角阵，AAA阵中对角元素对应的bbb中行元素与ccc中列元素有零项，因此系统不可控，也不可观测。

由系统的输出可控性矩阵：
rankSo=rank[cbcAbcA2bcA3b]=rank[0000=0]<1=q{\rm rank}S_o={\rm rank}\begin{bmatrix} cb & cAb & cA^2b & cA^3b \end{bmatrix}={\rm rank}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0=0 \end{bmatrix}<1=q rankSo​=rank[cb​cAb​cA2b​cA3b​]=rank[0​0​0​0=0​]<1=q
所以系统输出不可控。

【系统2】
A=[−10000−10000−20000−2]，b=[1111]，c=[1111]A=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡​−1000​0−100​00−20​000−2​⎦⎥⎥⎤​，b=⎣⎢⎢⎡​1111​⎦⎥⎥⎤​，c=[1​1​1​1​]
由于AAA阵中存在两个同一元素的约当块，两个约当块分别对应的bbb中行向量的最后一行组成的向量[11]T\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}^T[1​1​]T行线性相关，所以系统不可控；

由于AAA阵中存在两个同一元素的约当块，两个约当块分别对应的ccc中列向量的第一列组成的向量[11]\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}[1​1​]列线性相关，所以系统不可观测；

由系统的输出可控性矩阵：
rankSo=rank[cbcAbcA2bcA3b]=rank[0000=0]=1=q{\rm rank}S_o={\rm rank}\begin{bmatrix} cb & cAb & cA^2b & cA^3b \end{bmatrix}={\rm rank}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0=0 \end{bmatrix}=1=q rankSo​=rank[cb​cAb​cA2b​cA3b​]=rank[0​0​0​0=0​]=1=q
所以系统输出可控。

【系统3】
A=[−40000−10000−20000−3]，b=[1011]，c=[1101]A=\begin{bmatrix} -4 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 1\\0\\1\\1 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡​−4000​0−100​00−20​000−3​⎦⎥⎥⎤​，b=⎣⎢⎢⎡​1011​⎦⎥⎥⎤​，c=[1​1​0​1​]
由于AAA为对角阵，AAA阵中对角元素对应的bbb中行元素与ccc中列元素有零项，因此系统不可控，也不可观测。

由系统的输出可控性矩阵：
rankSo=rank[cbcAbcA2bcA3b]=rank[0000=0]=1=q{\rm rank}S_o={\rm rank}\begin{bmatrix} cb & cAb & cA^2b & cA^3b \end{bmatrix}={\rm rank}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0=0 \end{bmatrix}=1=q rankSo​=rank[cb​cAb​cA2b​cA3b​]=rank[0​0​0​0=0​]=1=q
所以系统输出可控。

【系统4】
A=[110010011]，b=[010]，c=[100]A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} A=⎣⎡​100​111​001​⎦⎤​，b=⎣⎡​010​⎦⎤​，c=[1​0​0​]
系统可控性矩阵为：
S=[bAbA2b]=[012111012]S=\begin{bmatrix} b & Ab & A^2b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} S=[b​Ab​A2b​]=⎣⎡​010​111​212​⎦⎤​
由于rankS=2

系统的可观测性矩阵为：
V=[ccAcA2]=[100110120]V=\begin{bmatrix} c\\cA\\cA^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} V=⎣⎡​ccAcA2​⎦⎤​=⎣⎡​111​012​000​⎦⎤​
由于rankV=2

系统的输出可控性矩阵为：
rankSo=rank[cbcAbcA2b]=1=q{\rm rank}S_o={\rm rank}\begin{bmatrix} cb & cAb & cA^2b \end{bmatrix}=1=q rankSo​=rank[cb​cAb​cA2b​]=1=q
所以系统输出可控。

【系统5】
A=[010001−6−11−6]，b=[001]，c=[000]A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -6 & -11 & -6 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} A=⎣⎡​00−6​10−11​01−6​⎦⎤​，b=⎣⎡​001​⎦⎤​，c=[0​0​0​]
由于系统为可控标准型形式，因此系统可控。由于c=[000]c=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\end{bmatrix}c=[0​0​0​]，则系统不可观测，输出不可控。

【系统6】
A=[−1−2−20−1110−1]，b=[201]，c=[110]A=\begin{bmatrix} -1 & -2 & -2\\ 0 & -1 & 1\\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 2\\0\\1 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} A=⎣⎡​−101​−2−10​−21−1​⎦⎤​，b=⎣⎡​201​⎦⎤​，c=[1​1​0​]
系统可控性矩阵为：
S=[bAbA2b]=[2−4001011−5]S=\begin{bmatrix} b & Ab & A^2b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & -4 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -5 \end{bmatrix} S=[b​Ab​A2b​]=⎣⎡​201​−411​00−5​⎦⎤​
由于rankS=3=n{\rm rank}S=3=nrankS=3=n，所以系统可控。

系统的可观测性矩阵为：
V=[ccAcA2]=[110−1−3−1050]V=\begin{bmatrix} c\\cA\\cA^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ -1 & -3 & -1\\ 0 & 5 & 0 \end{bmatrix} V=⎣⎡​ccAcA2​⎦⎤​=⎣⎡​1−10​1−35​0−10​⎦⎤​
由于rankV=3=n{\rm rank}V=3=nrankV=3=n，所以系统可观测。

系统的输出可控性矩阵为：
rankSo=rank[cbcAbcA2b]=1=q{\rm rank}S_o={\rm rank}\begin{bmatrix} cb & cAb & cA^2b \end{bmatrix}=1=q rankSo​=rank[cb​cAb​cA2b​]=1=q
所以系统输出可控。

【系统7】
A=[200020031]，b=[110]，c=[111]A=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} 1\\1\\0 \end{bmatrix}，c=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} A=⎣⎡​200​023​001​⎦⎤​，b=⎣⎡​110​⎦⎤​，c=[1​1​1​]
系统可控性矩阵为：
S=[bAbA2b]=[124124039]S=\begin{bmatrix} b & Ab & A^2b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4\\ 1 & 2 & 4\\ 0 & 3 & 9 \end{bmatrix} S=[b​Ab​A2b​]=⎣⎡​110​223​449​⎦⎤​
由于rankS=2

系统的可观测性矩阵为：
V=[ccAcA2]=[1112514131]V=\begin{bmatrix} c\\cA\\cA^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 5 & 1\\ 4 & 13 & 1 \end{bmatrix} V=⎣⎡​ccAcA2​⎦⎤​=⎣⎡​124​1513​111​⎦⎤​
由于rankV=2

系统的输出可控性矩阵为：
rankSo=rank[cbcAbcA2b]=1=q{\rm rank}S_o={\rm rank}\begin{bmatrix} cb & cAb & cA^2b \end{bmatrix}=1=q rankSo​=rank[cb​cAb​cA2b​]=1=q
所以系统输出可控。