前置定义 1　设 VnV_nVn​，UmU_mUm​ 分别是 nnn 维和 mmm 维线性空间，TTT 是一个从 VnV_nVn​ 到 UmU_mUm​ 的映射，如果映射 TTT 满足：

（i）任给 α1,α2∈Vn\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \in V_nα1​,α2​∈Vn​（从而 α1+α2∈V\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 \in Vα1​+α2​∈V），有
T(α1+α2)=T(α1)+T(α2)T(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2) = T(\boldsymbol{\alpha}_1) + T(\boldsymbol{\alpha}_2) T(α1​+α2​)=T(α1​)+T(α2​)
（ii）任给 α∈Vn\boldsymbol{\alpha} \in V_nα∈Vn​，λ∈R\lambda \in \Rλ∈R（从而 λα∈Vn\lambda \boldsymbol{\alpha} \in V_nλα∈Vn​），有
T(λα)=λT(α)T(\lambda \boldsymbol{\alpha}) = \lambda T(\boldsymbol{\alpha}) T(λα)=λT(α)
那么，TTT 就称为从 VnV_nVn​ 到 UmU_mUm​ 的 线性映射，或称为 线性变换。

证明见 “线性变换及其基本性质”。

前置定理 2　线性空间 VVV 的非空子集 LLL 构成子空间的充分必要条件是：LLL 对于 VVV 中的线性运算封闭。

证明见 “线性空间的定义与性质”。

性质 1　使 T(α)=0T(\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{0}T(α)=0 的 α\boldsymbol{\alpha}α 的全体
NT={α∣α∈Vn,T(α)=0}N_T = \{ \boldsymbol{\alpha} | \boldsymbol{\alpha} \in V_n, T(\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{0} \} NT​={α∣α∈Vn​,T(α)=0}
也是一个线性空间。

证明　显然有 NT⊆VnN_T \subseteq V_nNT​⊆Vn​。根据前置定理 2，若要证明 NTN_TNT​ 是一个线性空间，只需要证明 NTN_TNT​ 对线性运算封闭。根据前置定理 1，有：

若 α1,α2∈NT\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \in N_Tα1​,α2​∈NT​，即 T(α1)=0T(\boldsymbol{\alpha}_1) = \boldsymbol{0}T(α1​)=0、T(α2)=0T(\boldsymbol{\alpha}_2) = \boldsymbol{0}T(α2​)=0，则有 T(α1+α2)=T(α1)+T(α2)=0T(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2) = T(\boldsymbol{\alpha}_1) + T(\boldsymbol{\alpha}_2) = \boldsymbol{0}T(α1​+α2​)=T(α1​)+T(α2​)=0，所以 α1+α2∈NT\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 \in N_Tα1​+α2​∈NT​。

若 α1∈NT\boldsymbol{\alpha}_1 \in N_Tα1​∈NT​，λ∈R\lambda \in \Rλ∈R，则 T(λα1)=λT(α1)=λ0=0T(\lambda \boldsymbol{\alpha}_1) = \lambda T(\boldsymbol{\alpha}_1) = \lambda \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}T(λα1​)=λT(α1​)=λ0=0，所以 λα1∈NT\lambda \boldsymbol{\alpha}_1 \in N_Tλα1​∈NT​。

因此 T(Vn)T(V_n)T(Vn​) 对线性运算封闭，所以它是一个线性空间。得证。