直线与曲线关系若抛物线y=ax方-1(a>0)上总存在不同的两点关于y+x=0对称 求a的取值范围

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提供两种方法：

方法1:设对称点为A(x1,y1)B(x2,y2),所以

y1=ax1²-1……<1>

y2=ax2²-1……<2>

联立<1><2>得:(y1-y2)/(x1-x2)=a(x1+x2)……<3>

又因为A(x1,y1)、B(x2,y2)关于x+y=0对称,所以AB的斜率为x+y=0的斜率的负倒数

即(y1-y2)/(x1-x2)=1……<4>

且AB中点在x+y=0上,即(x1+x2)/2+(y1+y2)/2=0……<5>

由<4>得:y1-y2+x2-x1=0……<6>

由<5>得:x1+x2+y1+y2=0……<7>

<6>+<7>得:2y1+2x2=0,即y1=-x2……<8>

将<4>代入<3>得:a(x1+x2)=1,所以-x2=x1-1/a……<9>

由<8><9>得:y1=x1-1/a……<10>

联立<1><10>得:x1-1/a=ax1²-1,即a²x1²-ax1-a+1=0,

此方程必有实数根,所以判别式△≥0,即a²+4a²(a-1)≥0

所以a≥3/4



方法2:若存在A、B两点关于直线 y=-x 对称,则可以设A、B两点所在直线为y=x+m

代入抛物线y=ax²-1得：ax²-x-(m+1)=0

由题意,此方程有解,则有：1+4a(m+1)≥0 ……(1)

且易得 A、B两点的中点为(1/2a,1/2a+m),此点代入直线 y=-x 适合,则可以得到：m=-1/a；

把m=-1/a,代(1)式,即有：1+4a(-1/a+1)≥0,所以:a≥3/4.