非线性系统【六】|有界性，毕竟有界性，输入-状态稳定性

定义4.6

对于系统x˙=f(t,x)\dot{x}=f(t,x)x˙=f(t,x)

• 如果存在一个与t0t_0t0​无关的正常数ccc,t0≥0t_0 \geq 0t0​≥0，则对于每个a∈(0,c)a \in (0, c)a∈(0,c)，存在与t0t_0t0​无关的β=β(a)>0\beta = \beta(a) >0β=β(a)>0满足∣∣x(t0)∣∣≤a→∣∣x(t)∣∣≤β,∀t≥t0||x(t_0)||\leq a \rightarrow ||x(t)||\leq \beta, \forall t \geq t_0∣∣x(t0​)∣∣≤a→∣∣x(t)∣∣≤β,∀t≥t0​，则系统的解是一致有界的。
• 如果∣∣x(t0)∣∣≤a→∣∣x(t)∣∣≤β,∀t≥t0||x(t_0)||\leq a \rightarrow ||x(t)||\leq \beta, \forall t \geq t_0∣∣x(t0​)∣∣≤a→∣∣x(t)∣∣≤β,∀t≥t0​对于任意大的aaa都成立，则系统的解是全局一致有界的。
• 如果存在与t0t_0t0​无关的正常数bbb和ccc，t≥0t\geq0t≥0，则对于每个a∈(0,c)a\in (0,c)a∈(0,c)，存在T=T(a,b)≥0T=T(a,b)\geq0T=T(a,b)≥0与t0t_0t0​无关，满足∣∣x(t0)∣∣≤a→∣∣x(t)∣∣≤b,∀t≥t0+T||x(t_0)||\leq a \rightarrow ||x(t)||\leq b, \forall t \geq t_0+T∣∣x(t0​)∣∣≤a→∣∣x(t)∣∣≤b,∀t≥t0​+T则系统的解是一致毕竟有界的，且最终边界为b
• 如果∣∣x(t0)∣∣≤a→∣∣x(t)∣∣≤b,∀t≥t0+T||x(t_0)||\leq a \rightarrow ||x(t)||\leq b, \forall t \geq t_0+T∣∣x(t0​)∣∣≤a→∣∣x(t)∣∣≤b,∀t≥t0​+T对于任意大的aaa都成立，则系统的解是全局一致毕竟有界的。

定理4.18

设D⊂RnD \sub R^nD⊂Rn是包含原点的定义域，且∀t≥0,∀x∈D,V:[0,∞)×D→R\forall t \geq 0, \forall x \in D, V:[0, \infty) \times D \rightarrow R∀t≥0,∀x∈D,V:[0,∞)×D→R是连续可微函数，满足
α1(∣∣x∣∣)≤V(t,x)≤α2(∣∣x∣∣)\alpha_1(||x||)\leq V(t,x) \leq \alpha_2(||x||) α1​(∣∣x∣∣)≤V(t,x)≤α2​(∣∣x∣∣)
∂V∂t+∂V∂xf(t,x)≤−W3(x),∀∣∣x∣∣≥μ>0\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial x}f(t,x) \leq -W_3(x), \forall ||x|| \geq \mu >0 ∂t∂V​+∂x∂V​f(t,x)≤−W3​(x),∀∣∣x∣∣≥μ>0
式中α1\alpha_1α1​和α2\alpha_2α2​是K\mathcal{K}K类函数，W3(x)W_3(x)W3​(x)是连续正定函数。取r>0r>0r>0使Br⊂DB_r \sub DBr​⊂D,并假设
μ<α2−1(α1(r))\mu < \alpha^{-1}_2(\alpha_1(r)) μ<α2−1​(α1​(r))
那么，存在一个KL\mathcal{K} \mathcal{L}KL类函数β\betaβ，且对于每个满足∣∣x(t0)∣∣≤α2−1(α1(r))||x(t_0)|| \leq \alpha^{-1}_2(\alpha_1(r))∣∣x(t0​)∣∣≤α2−1​(α1​(r))的初始状态x(t0)x(t_0)x(t0​)，存在T≥0T\geq 0T≥0（与x(t0)x(t_0)x(t0​)和μ\muμ有关），使方程的解满足
∣∣x(t)∣∣≤β(∣∣x(t0)∣∣,t−t0),∀t0≤t≤t0+T||x(t)||\leq\beta(||x(t_0)||,t-t_0),\forall t_0 \leq t \leq t_0 + T ∣∣x(t)∣∣≤β(∣∣x(t0​)∣∣,t−t0​),∀t0​≤t≤t0​+T
∣∣x(t)∣∣≤α1−1(α2(μ)),∀t≥t0+T||x(t)|| \leq \alpha^{-1}_1 (\alpha_2(\mu)), \forall t \geq t_0 + T ∣∣x(t)∣∣≤α1−1​(α2​(μ)),∀t≥t0​+T
而且，如果D=RnD=R^nD=Rn且α1\alpha_1α1​属于K∞\mathcal{K}_{\infty}K∞​类函数，则上面两个式子对于任意初始状态x(t0)x(t_0)x(t0​)都成立，对μ\muμ的大小没有限制。

定义4.7

如果存在一个KL\mathcal{K}\mathcal{L}KL类函数和一个K\mathcal{K}K类函数γ\gammaγ，使对任何初始时间t0t_0t0​、初始状态x(t0)x(t_0)x(t0​)和有界输入u(t)u(t)u(t)，解x(t)x(t)x(t)对于所有t≥t0t \geq t_0t≥t0​都存在，且满足
∣∣x(t)∣∣≤β(∣∣x(t0)∣∣,t+t0)+γ(supt0≤τ≤t∣∣μ(τ)∣∣)||x(t)||\leq \beta(||x(t_0)||, t+t_0) + \gamma( sup_{t_0 \leq \tau \leq t} ||\mu(\tau)||) ∣∣x(t)∣∣≤β(∣∣x(t0​)∣∣,t+t0​)+γ(supt0​≤τ≤t​∣∣μ(τ)∣∣)
那么系统就是输入-状态稳定的。

定理4.19 类李雅普诺夫定理，输入-状态稳定性的一个充分条件

设V:[0,∞)×Rn→RV:[0,\infty) \times R^n \rightarrow RV:[0,∞)×Rn→R是连续可微函数，满足
α1(∣∣x∣∣)≤V(t,x)≤α2(∣∣x∣∣)\alpha_1(||x||) \leq V(t,x) \leq \alpha_2(||x||) α1​(∣∣x∣∣)≤V(t,x)≤α2​(∣∣x∣∣)
∂V∂t+∂V∂xf(t,x)≤−W3(x),∀∣∣x∣∣≥ρ(∣∣μ∣∣)>0\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial x}f(t,x) \leq -W_3(x), \forall ||x|| \geq \rho(|| \mu ||) >0 ∂t∂V​+∂x∂V​f(t,x)≤−W3​(x),∀∣∣x∣∣≥ρ(∣∣μ∣∣)>0
∀(t,x,u)∈[0,∞)×Rn×Rm\forall (t, x, u) \in [0, \infty) \times R^n \times R^m∀(t,x,u)∈[0,∞)×Rn×Rm，其中α1,α2\alpha_1, \alpha_2α1​,α2​是K∞\mathcal{K}_{\infty}K∞​类函数，ρ\rhoρ是K\mathcal{K}K类函数，W3(x)W_3(x)W3​(x)是RnR^nRn上的连续正定函数。则系统是输入输出状态稳定的，γ=α1−1⋅α2⋅ρ\gamma = \alpha_1^{-1} \cdot \alpha_2 \cdot \rhoγ=α1−1​⋅α2​⋅ρ

引理4.6

假设f(t,x,u)f(t,x,u)f(t,x,u)对于(x,u)(x,u)(x,u)是连续可微的，且是全局利普希兹的，对ttt一致。如果无激励系统在原点x=0x=0x=0处有全局指数稳定的平衡点，那么系统是输入-状态稳定的。

引理4.7

在上述假设条件下，如果以x2x_2x2​作为输入时系统是输入-状态稳定的，且系统的原点是全局一致渐进稳定的，那么系统和系统的级联系统的原点也是全局一致渐近稳定的。