1.实验目的：

通过实验理解算法的概念、算法的表示、算法的时间复杂度和空间复杂度分析；初步学会递归算法和非递归算法的转换。

2.实验内容：

为庆祝三八女生节，学校发给女老师老王发放了n\ge2 个鸡蛋 。老王计划每天吃 2 至 n 个，连续若干天吃完，问老王有多少种吃法。

说明：本题只是数学题，不考虑实际生活中老师的食量 😄。

例： 如果有3个鸡蛋，只有1种正确吃法，因为

$$
\begin{array}{|c|} \hline 吃法 & 第1天 & 第2天 & 第3天 & 正确与否 \\ \hline 1 & 3个 & / & / & 正确\\ 2 & 2个 & 1个 & / & 错误\\ 3 & 1个 & 2个 &/ & 错误\\ 4 & 1个 & 1个 & 1个 & 错误\\ \hline \end{array}
$$  

程序输入输出示例：

输入（鸡蛋个数）：3

输出（正确吃法数）：1

3.实验要求：

编制程序并对其时间复杂度和空间复杂度进行分析，实现递归版本和非递归版本。

\square 基础性实验 \square 综合性实验 \boxtimes 设计性实验

实验报告正文

一、问题分析（模型、算法设计和正确性证明等）

设老王吃完n个鸡蛋的方法有f(n)种，则有递归式：

情况1:n=1

不符合题意所以无合法吃法。

情况2：n=2

老王每天至少吃2个鸡蛋所以只有一种吃法。

情况3：n>2

老王吃完鸡蛋的情形可分为以下两种：

1. 最后一天吃了2个鸡蛋

2. 最后一天吃了3个及以上鸡蛋

对于情形1，只考虑剩下n-2个鸡蛋的吃法即可，即f(n-2)。

对于情形2，因为最后一天吃的鸡蛋数\geq 3个，所以减少1个也是合法的吃法，所以该情形的吃法有f(n-1)种。

二、算法设计复杂度分析（伪代码，不要粘贴源码）

1. 递归算法

下求解递归算法的时间复杂度，设规模为n问题所需的计算时间为T(n)，则有：

通过微分方程法求得方程的解：

下讨论递归算法的空间复杂度，每次返回函数本身都会开辟新的栈空间，故递归树的高度即为该算法所用空间。递归出口为1和2，递归树高度为n-1，所以空间复杂度为\theta (n)。

1. 非递归算法

2. 

    

   下讨论非递归算法的时间复杂度，设规模为n的问题所需的计算时间为T(n)，则有：

   $$
   
   $$  

   下讨论非递归算的空间复杂度，该算法仅使用两个整型变量（伪代码中a,b）辅助运算，故空间复杂度为\theta(1)。

三、实验结果记录和分析（测试向量的测试时间运行结果）

1. 递归算法

   鸡蛋数（个）	结果（种）	运行时间（ms）
   2	1	0.0003
   7	8	0.0003
   12	89	0.0015
   17	987	0.0149
   22	10946	0.1275
   27	121393	0.8093
   32	1346269	8.9908
   37	14930352	14.5162
   42	165580141	1106.4063

1. 非递归算法

   鸡蛋数（个）	结果（种）	运行时间（ms）
   2	1	0.0002
   7	8	0.0001
   12	89	0.0001
   17	987	0.0001
   22	10946	0.0002
   27	121393	0.0001
   32	1346269	0.0001
   37	14930352	0.0002
   42	165580141	0.0002
   101	218922995834555200000	0.0004
   1001	2.686381002448534e208	0.0028

   

四、总结（可描述出现的问题和解决方法、经验和反思等）

此问题应与整数划分区别开，整数划分（最小数不少于2）只计算划分数即可，本问题还需计算每个划分种不同排列，例如n=7时，\{2,2,3\}是一种合法的整数划分，而\{2,2,3\},\{2,3,2\},\{3,2,2\}都是合法的吃鸡蛋方式，记3种，故两者并不相同。

递归算法的思路更加接近我们思考一个问题的方式，结构清晰，可读性强。可用数学归纳等方法证明其正确性，设计算法及调试很方便。但是效率很低，时间空间复杂度都高于非递归算法。

本次实验中可将递归算法写作以下非递归算法：

memo = dict({1:0,2:1});
def f(n):if n in memo:return memo[n]else:memo[n] = f(n-1) + f(n-2);return memo[n]

时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)，但是本实验中采用进一步优化的迭代算法改善算法效率。