前置知识：第二类换元法

题1： 计算∫1(a2−x2)32dx\int \dfrac{1}{(a^2-x^2)^{\frac 32}}dx∫(a2−x2)23​1​dx

解：
\qquad令x=asin⁡tx=a\sin tx=asint，t=arcsin⁡xat=\arcsin \dfrac xat=arcsinax​，dx=acos⁡tdtdx=a\cos tdtdx=acostdt

\qquad原式=∫1(acos⁡t)3⋅acos⁡tdt=1a2∫1cos⁡2tdt=\int\dfrac{1}{(a\cos t)^3}\cdot a\cos tdt=\dfrac{1}{a^2}\int\dfrac{1}{\cos^2 t}dt=∫(acost)31​⋅acostdt=a21​∫cos2t1​dt

=1a2tan⁡t+C=xa2a2−x2+C\qquad\qquad =\dfrac{1}{a^2}\tan t+C=\dfrac{x}{a^2\sqrt{a^2-x^2}}+C=a21​tant+C=a2a2−x2​x​+C

题2： 计算∫1x21+x2dx\int\dfrac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx∫x21+x2​1​dx

解：
\qquad令x=tan⁡tx=\tan tx=tant，t=arctan⁡xt=\arctan xt=arctanx，dx=1cos⁡2tdtdx=\dfrac{1}{\cos^2 t}dtdx=cos2t1​dt

\qquad原式=∫1tan⁡2t⋅1cos⁡t⋅1cos⁡2tdt=∫1tan⁡2tcos⁡tdt=\int\dfrac{1}{\tan^2 t\cdot \frac{1}{\cos t}}\cdot \dfrac{1}{\cos^2 t}dt=\int\dfrac{1}{\tan^2 t\cos t}dt=∫tan2t⋅cost1​1​⋅cos2t1​dt=∫tan2tcost1​dt

=∫1tan⁡t⋅1sin⁡tdt=∫cot⁡tcsc⁡tdt\qquad\qquad =\int \dfrac{1}{\tan t}\cdot\dfrac{1}{\sin t}dt=\int \cot t \csc tdt=∫tant1​⋅sint1​dt=∫cottcsctdt

=−csc⁡t+C=−1+cot⁡2t+C\qquad\qquad =-\csc t+C=-\sqrt{1+\cot^2 t}+C=−csct+C=−1+cot2t​+C

=−1+1x2+C=−x2+1x+C\qquad\qquad =-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+C=-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}+C=−1+x21​​+C=−xx2+1​​+C

题3： 计算∫1x2−a2dx\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx∫x2−a2​1​dx

解：
\qquad令x=asec⁡tx=a\sec tx=asect，dx=asec⁡ttan⁡tdtdx=a\sec t\tan tdtdx=asecttantdt

\qquad原式=∫1tan⁡t⋅sec⁡ttan⁡tdt=∫sec⁡tdt=\int\dfrac{1}{\tan t}\cdot \sec t\tan tdt=\int\sec tdt=∫tant1​⋅secttantdt=∫sectdt

=ln⁡∣sec⁡t+tan⁡t∣+C=ln⁡∣x+x2−a2a∣+C\qquad\qquad =\ln|\sec t+\tan t|+C=\ln|\dfrac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a}|+C=ln∣sect+tant∣+C=ln∣ax+x2−a2​​∣+C

总结

要学会观察被积函数，遇到有根号且根号的形式为类似a2±x2\sqrt{a^2\pm x^2}a2±x2​或x2±a2\sqrt{x^2\pm a^2}x2±a2​的，一般都可以用三角代换来做。