完备性

定义. 若距离空间 EEE 满足: EEE 中的任意 Cauchy 序列 {xn}\{x_{n}\}{xn​} 收敛于 EEE 中的元.

Cauchy 序列的性质:

(1) 收敛序列是 Cauchy 序列;

(2) Cauchy 序列是有界的;

(3) 若 {xn}\{x_{n}\}{xn​} 是 Cauchy 序列, 并且存在一个子列 {xnk}\{x_{n_{k}}\}{xnk​​} 收敛于 xxx, 则 {xn}\{x_{n}\}{xn​} 收敛于 xxx.

证明: (1) 若 {xn}\{x_{n}\}{xn​} 是任一收敛序列, 极限为 xxx, 要证明对于 ∀ϵ>0\forall \epsilon \gt 0∀ϵ>0, 存在正整数 NNN, 使得对于任意 m,n≥Nm, n \geq Nm,n≥N, ∣xm−xn∣≤ϵ|x_{m}-x_{n}|\leq \epsilon∣xm​−xn​∣≤ϵ. 由收敛的定义, 则对 ϵ2>0\frac{\epsilon}{2} \gt 02ϵ​>0, 存在正整数 NNN, 使得当 n≥Nn\geq Nn≥N 时, ∣xn−x∣≤ϵ|x_{n}-x|\leq \epsilon∣xn​−x∣≤ϵ, 则对于任意 m,n≥Nm, n \geq Nm,n≥N, ∣xm−xn∣≤∣xm−x∣+∣xn−x∣≤ϵ|x_{m}-x_{n}|\leq |x_{m}-x|+|x_{n}-x|\leq \epsilon∣xm​−xn​∣≤∣xm​−x∣+∣xn​−x∣≤ϵ, 证毕.

(2) 若 {xn}\{x_{n}\}{xn​} 是任一 Cauchy 序列, 任取正数 ϵ>0\epsilon \gt 0ϵ>0, 存在正整数 NNN, 使得对于任意 m,n≥Nm, n \geq Nm,n≥N, ∣xm−xn∣≤ϵ|x_{m}-x_{n}|\leq \epsilon∣xm​−xn​∣≤ϵ, 即 ∣xm−xn∣≤∣xm∣+∣xn∣≤ϵ|x_{m}-x_{n}|\leq |x_{m}|+|x_{n}|\leq \epsilon∣xm​−xn​∣≤∣xm​∣+∣xn​∣≤ϵ, ∣xm∣≤ϵ|x_{m}|\leq \epsilon∣xm​∣≤ϵ, xn≤ϵx_{n}\leq \epsilonxn​≤ϵ, 所以当 n≥Nn\geq Nn≥N 时. ∣xn∣≤ϵ|x_{n}|\leq \epsilon∣xn​∣≤ϵ, 因此 ∣xn∣≤max⁡{∣x1∣,…,∣xN∣,ϵ}|x_{n}|\leq \max\{|x_{1}|, \dots, |x_{N}|, \epsilon\}∣xn​∣≤max{∣x1​∣,…,∣xN​∣,ϵ}, 证毕.

(3) 即证明 lim⁡n→∞∣xn−x∣=0\lim\limits_{n\rightarrow \infty}|x_{n}-x|=0n→∞lim​∣xn​−x∣=0, 对于任意正整数 kkk, ∣xn−x∣≤∣xn−xnk∣+∣xnk−x∣|x_{n}-x|\leq |x_{n}-x_{n_{k}}|+|x_{n_{k}}-x|∣xn​−x∣≤∣xn​−xnk​​∣+∣xnk​​−x∣, 由于 {xn}\{x_{n}\}{xn​} 是 Cauchy 列, 所以 lim⁡n→∞k→∞∣xn−xnk∣=0\lim\limits_{n\rightarrow \infty \atop {k\rightarrow\infty}}|x_{n}-x_{n_{k}}|=0k→∞n→∞​lim​∣xn​−xnk​​∣=0, lim⁡n→∞k→∞{∣xn−xnk∣−∣xnk−x∣}=0\lim\limits_{n\rightarrow \infty \atop {k\rightarrow\infty}}\{|x_{n}-x_{n_{k}}|-|x_{n_{k}}-x|\}=0k→∞n→∞​lim​{∣xn​−xnk​​∣−∣xnk​​−x∣}=0, 显然 ∣xn−x∣≥0|x_{n}-x|\geq 0∣xn​−x∣≥0, 所以由夹逼定理可知 lim⁡n→∞k→∞∣xn−x∣=0\lim\limits_{n\rightarrow \infty \atop {k\rightarrow\infty}}|x_{n}-x|=0k→∞n→∞​lim​∣xn​−x∣=0, 即 lim⁡n→∞∣xn−x∣=0\lim\limits_{n\rightarrow \infty}|x_{n}-x|=0n→∞lim​∣xn​−x∣=0.

完备的距离空间称为 Banach 空间.

EEE 是完备的距离空间的充要条件是:

对于 EEE 中任意一列半径趋于 000 且嵌套的闭球, 记为 {Sn},Sn={x∣d(x,xn)≤rn}\{S_{n}\}, S_{n}=\{x|d(x,x_{n})\leq r_{n}\}{Sn​},Sn​={x∣d(x,xn​)≤rn​}, 其中 rn→0r_{n}\rightarrow 0rn​→0, 且对于 ∀n∈N+\forall n \in \mathbb{N}^{+}∀n∈N+, Sn⊆Sn+1S_{n}\subseteq S_{n+1}Sn​⊆Sn+1​, 则存在唯一的点 x∈⋂n=1∞Snx\in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}S_{n}x∈n=1⋂∞​Sn​.

证明:

必要性:

首先证明存在性: 在每个闭球 SnS_{n}Sn​ 内任取一点 xnx_{n}xn​, 构成一个序列 {xn}\{x_{n}\}{xn​}, 该序列满足:
xm∈Sn,∀n,m≥nx_{m}\in S_{n}, \forall n, m\geq n xm​∈Sn​,∀n,m≥n
进而有
d(xm,xn)≤rn∀n,m≥nd(x_{m}, x_{n})\leq r_{n} \forall n, m\geq n d(xm​,xn​)≤rn​∀n,m≥n
由于 rn→0r_{n}\rightarrow 0rn​→0, 所以对于 ∀ϵ>0\forall \epsilon \gt 0∀ϵ>0, 存在 NNN, 当 n≥Nn\geq Nn≥N 时 ∣rn∣≤ϵ|r_{n}|\leq \epsilon∣rn​∣≤ϵ, 即对于 ∀m,n≥N\forall m,n\geq N∀m,n≥N, d(xm,xn)≤ϵd(x_{m},x_{n})\leq \epsilond(xm​,xn​)≤ϵ, 因此 {xn}\{x_{n}\}{xn​} 是 Cauchy 列, 由完备性可知其收敛于 x∈Ex\in Ex∈E. 此外, 由于 {xn}\{x_{n}\}{xn​} 是 S1S_{1}S1​ 中的序列且 S1S_{1}S1​ 是闭集, 因此 x∈S1x\in S_{1}x∈S1​, 因此 x∈⋂n=1∞Snx\in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}S_{n}x∈n=1⋂∞​Sn​.

唯一性: 若还存在 x′x'x′ 满足 x′∈⋂n=1∞Snx'\in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}S_{n}x′∈n=1⋂∞​Sn​, 则 d(x,x′)≤rnd(x, x')\leq r_{n}d(x,x′)≤rn​, ∀n∈N+\forall n\in \mathbb{N}^{+}∀n∈N+, 令 n→∞n\rightarrow\inftyn→∞ 可得 d(x,x′)≤0d(x,x')\leq 0d(x,x′)≤0, 因此 d(x,x′)=0d(x,x')=0d(x,x′)=0, x=x′x=x'x=x′, 矛盾, 因此存在唯一的点 x∈⋂n=1∞Snx\in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}S_{n}x∈n=1⋂∞​Sn​.

充分性:

即证明 EEE 中的任一 Cauchy 序列 {xn}\{x_{n}\}{xn​} 收敛于 EEE 中的元. 对于 EEE 中的任一 Cauchy 序列 {xk}\{x_{k}\}{xk​}, 由 Cauchy 序列的定义可知, 对于 ϵ=1n,∀n∈N+\epsilon = \frac{1}{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{+}ϵ=n1​,∀n∈N+, 存在 KnK_{n}Kn​, 使得对于 ∀p,q≥Kn\forall p,q\geq K_{n}∀p,q≥Kn​, d(xp,xq)≤ϵd(x_{p}, x_{q})\leq \epsilond(xp​,xq​)≤ϵ, 进而 {xm∣m≥Kn}⊆U(xKn,ϵ)‾\{x_{m}|m\geq K_{n}\}\subseteq \overline{U(x_{K_{n}}, \epsilon)}{xm​∣m≥Kn​}⊆U(xKn​​,ϵ)​, 由此可得到 EEE 中一列半径趋于 000 且嵌套的闭球 {U(xKn,1n)‾}\{\overline{U(x_{K_{n}}, \frac{1}{n})}\}{U(xKn​​,n1​)​}, 由题设条件可知, 存在唯一的点 x∈⋂n=1∞U(xKn,1n)‾x\in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\overline{U(x_{K_{n}}, \frac{1}{n})}x∈n=1⋂∞​U(xKn​​,n1​)​. 下面证明 xxx 是 {xk}\{x_{k}\}{xk​} 的极限: 取 {xk}\{x_{k}\}{xk​} 的极限 {xKn}\{x_{K_{n}}\}{xKn​​}, 显然 d(xKn,x)≤1nd(x_{K_{n}},x)\leq \frac{1}{n}d(xKn​​,x)≤n1​, ∀n∈N+\forall n\in \mathbb{N}^{+}∀n∈N+, 由于 lim⁡n→∞1n=0\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0n→∞lim​n1​=0 且 d(xKn,x)≥0d(x_{K_{n}},x)\geq 0d(xKn​​,x)≥0, 由夹逼定理可知 lim⁡n→∞d(xKn,x)=0\lim\limits_{n\rightarrow \infty}d(x_{K_{n}},x)=0n→∞lim​d(xKn​​,x)=0, 所以 {xKn}\{x_{K_{n}}\}{xKn​​} 收敛于 xxx, 进而 {xn}\{x_{n}\}{xn​} 收敛于 xxx.