4. 底层结构

4.1.6AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2(N)log_2 (N)log2​(N)。
 
但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
 
因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

4.2 红黑树

AVL树：要求左右高度差不超过1（严格平衡）
红黑树：最长路径不超过最短路径的2倍（不严格——近似平衡）
效果：相对而言，插入同样数据，AVL树旋转更多，红黑树旋转更少

4.2.1 红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

4.2.2 红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的 解读：书中没有连续的红色结点，（可以有连续的黑结点）
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均 包含相同数目的黑色结点 解读：每条路径的黑色节点数量相等
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)NIL结点

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点
个数的两倍？

极限最短：全黑
极限最长：一黑一红……

路径不是算到叶子，完整的路径是要算到空结点

4.2.4 红黑树结构

为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头结点，因为跟节点必须为黑色，为了与根节点进行区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的 pParent 域指向红黑树的根节点，pLeft域指向红黑树中最小的节点，_pRight域指向红黑树中最大的节点

4.2.3 红黑树节点的定义

// 节点的颜色
enum Colour
{
RED,
BLACK
};// 红黑树节点的定义
template
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode* _left;// 节点的左孩子
RBTreeNode* _right;// 节点的右孩子
RBTreeNode* _parent;// 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给
出该字段)pair _kv;// 节点的值域
Colour _col;// 节点的颜色RBTreeNode(const pair& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
{}
};

4.2.5 红黑树的插入操作

新结点插入，是什么颜色？
默认给红色。——违反规则3比违反规则4好一点
新插入的结点的父亲是红的话一定要将其变黑

处理规则：
1.变色
2.旋转

红黑树的关键是叔叔！
u存在且为红，变色继续往上处理
u不存在或存在且为黑，旋转+变色（单旋+双旋）

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点
2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；
但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
cur和p均为红，违反了性质三，此处能否将p直接改为黑？
解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。

情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，
p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转
p、g变色–p变黑，g变红

情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；相反，
p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转
则转换成了情况2

bool Insert(const pair& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;//根结点为黑色
return true;
}Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}cur = new Node(kv);
cur->_col = RED;//新插入的结点默认为红色if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}cur->_parent = parent;//parent存在且颜色为红色，继续处理while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfater = parent->_parent;
assert(grandfater);
assert(grandfater->_col == BLACK);// 关键看叔叔
if (parent == grandfater->_left)
{
Node* uncle = grandfater->_right;
// 情况一 : uncle存在且为红，变色+继续往上处理
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
// 继续往上处理
cur = grandfater;
parent = cur->_parent;
}// 情况二+三：uncle不存在 + 存在且为黑
else
{
// 情况二：右单旋+变色
//     g 
//   p   u
// c
if (cur == parent->_left)
{
RotateR(grandfater);
parent->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
}
else
{
// 情况三：左右单旋+变色
//     g 
//   p   u
//     c
RotateL(parent);
RotateR(grandfater);
cur->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
}break;
}
}
else // (parent == grandfater->_right)
{
Node* uncle = grandfater->_left;
// 情况一
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
// 继续往上处理
cur = grandfater;
parent = cur->_parent;
}
else
{
// 情况二：左单旋+变色
//     g 
//   u   p
//         c
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfater);
parent->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
}
else
{
// 情况三：右左单旋+变色
//     g 
//   u   p
//     c
RotateR(parent);
RotateL(grandfater);
cur->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
}break;
}
}}_root->_col = BLACK;
return true;
}

4.2.6 红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
2. 检测其是否满足红黑树的性质

public:bool IsBalance()
{
if (_root == nullptr)
{
return true;
}if (_root->_col == RED)
{
cout << "根节点不是黑色" << endl;
return false;
}// 黑色节点数量基准值
int benchmark = 0;
/*Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_col == BLACK)
++benchmark;cur = cur->_left;
}*/return PrevCheck(_root, 0, benchmark);
}private:
bool PrevCheck(Node* root, int blackNum, int& benchmark)
{
if (root == nullptr)
{
//cout << blackNum << endl;
//return;
if (benchmark == 0)
{
benchmark = blackNum;
return true;
}if (blackNum != benchmark)
{
cout << "某条黑色节点的数量不相等" << endl;
return false;
}
else
{
return true;
}
}if (root->_col == BLACK)
{
++blackNum;
}if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
{
cout << "存在连续的红色节点" << endl;
return false;
}return PrevCheck(root->_left, blackNum, benchmark)
&& PrevCheck(root->_right, blackNum, benchmark);
}

递归中，blackNum记录根结点——当前结点路径上黑色结点数量
前序递归遍历即可

4.2.8 红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(log2Nlog_2 Nlog2​N)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多

4.3 红黑树模拟实现STL中的map与set

4.3.1 红黑树的迭代器

T是一个泛型，没有具体类型
增加一个参数 KeyOfT 是一个仿函数——方便比较大小
作用：将value中的key提取出来

begin\end

• begin返回中序第一个
• end返回最后一个结点的下一个

template
struct RBTree
{
typedef RBTreeNode Node;
public:
typedef __RBTreeIterator iterator;iterator begin()
{
Node* left = _root;
while (left && left->_left)
{
left = left->_left;
}return iterator(left);
}iterator end()
{
return iterator(nullptr);
}.......}

operator+±-

++
中序：左子树 根 右子树
右子树不为空，++就是找右子树中序第一个（最左结点）
右子树为空，++找孩子不是父亲右的那个祖先

--
中序反过来：右子树 根 左子树
左子树不为空,–访问左子树中的最右结点
左子树为空，–找孩子不是父亲左的那个祖先

template
struct __RBTreeIterator
{
typedef RBTreeNode Node;
typedef __RBTreeIterator Self;
Node* _node;__RBTreeIterator(Node* node)
:_node(node)
{}Ref operator*()
{
return _node->_data;
}Ptr operator->()
{
return &_node->_data;
}bool operator!=(const Self& s) const
{
return _node != s._node;
}bool operator==(const Self& s) const
{
return _node == s._node;
}Self& operator++()
{
if (_node->_right)
{
// 下一个就是右子树的最左节点
Node* left = _node->_right;
while (left->_left)
{
left = left->_left;
}_node = left;
}
else
{
// 找祖先里面孩子不是祖先的右的那个
Node* parent = _node->_parent;
Node* cur = _node;
while (parent && cur == parent->_right)
{
cur = cur->_parent;
parent = parent->_parent;
}_node = parent;
}return *this;
}Self& operator--()
{
if (_node->_left)
{
// 下一个是左子树的最右节点
Node* right = _node->_left;
while (right->_right)
{
right = right->_right;
}_node = right;
}
else
{
// 孩子不是父亲的左的那个祖先
Node* parent = _node->_parent;
Node* cur = _node;
while (parent && cur == parent->_left)
{
cur = cur->_parent;
parent = parent->_parent;
}_node = parent;
}return *this;
}
};

4.3.2改造红黑树

#pragma onceenum Colour
{RED,BLACK
};template
struct RBTreeNode
{RBTreeNode* _left;RBTreeNode* _right;RBTreeNode* _parent;T _data;Colour _col;RBTreeNode(const T& data):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _data(data){}
};template
struct __RBTreeIterator
{typedef RBTreeNode Node;typedef __RBTreeIterator Self;Node* _node;__RBTreeIterator(Node* node):_node(node){}Ref operator*(){return _node->_data;}Ptr operator->(){return &_node->_data;}bool operator!=(const Self& s) const{return _node != s._node;}bool operator==(const Self& s) const{return _node == s._node;}Self& operator++(){if (_node->_right){// 下一个就是右子树的最左节点Node* left = _node->_right;while (left->_left){left = left->_left;}_node = left;}else{// 找祖先里面孩子不是祖先的右的那个Node* parent = _node->_parent;Node* cur = _node;while (parent && cur == parent->_right){cur = cur->_parent;parent = parent->_parent;}_node = parent;}return *this;}Self& operator--(){if (_node->_left){// 下一个是左子树的最右节点Node* right = _node->_left;while (right->_right){right = right->_right;}_node = right;}else{// 孩子不是父亲的左的那个祖先Node* parent = _node->_parent;Node* cur = _node;while (parent && cur == parent->_left){cur = cur->_parent;parent = parent->_parent;}_node = parent;}return *this;}
};template
struct RBTree
{typedef RBTreeNode Node;
public:typedef __RBTreeIterator iterator;iterator begin(){Node* left = _root;while (left && left->_left){left = left->_left;}return iterator(left);}iterator end(){return iterator(nullptr);}pair Insert(const T& data){KeyOfT kot;if (_root == nullptr){_root = new Node(data);_root->_col = BLACK;return make_pair(iterator(_root), true);}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (kot(cur->_data) < kot(data)){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (kot(cur->_data) > kot(data)){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return make_pair(iterator(cur), false);}}cur = new Node(data);Node* newnode = cur;cur->_col = RED;if (kot(parent->_data) < kot(data)){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfater = parent->_parent;assert(grandfater);assert(grandfater->_col == BLACK);// 关键看叔叔if (parent == grandfater->_left){Node* uncle = grandfater->_right;// 情况一 : uncle存在且为红，变色+继续往上处理if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfater;parent = cur->_parent;}// 情况二+三：uncle不存在 + 存在且为黑else{// 情况二：右单旋+变色//     g //   p   u// cif (cur == parent->_left){RotateR(grandfater);parent->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;}else{// 情况三：左右单旋+变色//     g //   p   u//     cRotateL(parent);RotateR(grandfater);cur->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;}break;}}else // (parent == grandfater->_right){Node* uncle = grandfater->_left;// 情况一if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfater;parent = cur->_parent;}else{// 情况二：左单旋+变色//     g //   u   p//         cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfater);parent->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;}else{// 情况三：右左单旋+变色//     g //   u   p//     cRotateR(parent);RotateL(grandfater);cur->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return make_pair(iterator(newnode), true);}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}bool IsBalance(){if (_root == nullptr){return true;}if (_root->_col == RED){cout << "根节点不是黑色" << endl;return false;}// 黑色节点数量基准值int benchmark = 0;return PrevCheck(_root, 0, benchmark);}private:bool PrevCheck(Node* root, int blackNum, int& benchmark){if (root == nullptr){//cout << blackNum << endl;//return;if (benchmark == 0){benchmark = blackNum;return true;}if (blackNum != benchmark){cout << "某条黑色节点的数量不相等" << endl;return false;}else{return true;}}if (root->_col == BLACK){++blackNum;}if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout << "存在连续的红色节点" << endl;return false;}return PrevCheck(root->_left, blackNum, benchmark)&& PrevCheck(root->_right, blackNum, benchmark);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* ppNode = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (_root == parent){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subR;}else{ppNode->_right = subR;}subR->_parent = ppNode;}}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR){subLR->_parent = parent;}Node* ppNode = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (_root == parent){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}}private:Node* _root = nullptr;
};

4.3.3 map的模拟实现

#pragma once#include "RBTree.h"namespace haha
{
template
class map
{//作用：将value中的key提取出来struct MapKeyOfT
{
const K& operator()(const pair& kv)
{
return kv.first;
}
};
public:
typedef typename RBTree, MapKeyOfT>::iterator iterator;iterator begin()
{
return _t.begin();
}iterator end()
{
return _t.end();
}pair insert(const pair& kv)
{
return _t.Insert(kv);
}V& operator[](const K& key)
{
pair ret = insert(make_pair(key, V()));
return ret.first->second;
}
private:
RBTree, MapKeyOfT> _t;
};void test_map()
{
string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };map countMap;
for (auto& str : arr)
{
// 1、str不在countMap中，插入pair(str, int()),然后在对返回次数++
// 2、str在countMap中，返回value(次数)的引用，次数++;
countMap[str]++;
}map::iterator it = countMap.begin();
while (it != countMap.end())
{
cout << it->first << ":" << it->second << endl;
++it;
}for (auto& kv : countMap)
{
cout << kv.first << ":" << kv.second << endl;
}
}
}

4.3.4 set的模拟实现

#pragma once#include "RBTree.h"namespace haha
{
template
class set
{
struct SetKeyOfT
{
const K& operator()(const K& key)
{
return key;
}
};
public:
typedef typename RBTree::iterator iterator;iterator begin()
{
return _t.begin();
}iterator end()
{
return _t.end();
}pair insert(const K& key)
{
return _t.Insert(key);
}
private:
RBTree _t;
};void test_set()
{
set s;set::iterator it = s.begin();
while (it != s.end())
{
cout << *it << " ";
++it;
}
cout << endl;s.insert(3);
s.insert(2);
s.insert(1);
s.insert(5);
s.insert(3);
s.insert(6);
s.insert(4);
s.insert(9);
s.insert(7);it = s.begin();
while (it != s.end())
{
cout << *it << " ";
++it;
}
cout << endl;
}
}