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动态规划篇 —— 编辑距离

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392.判断子序列

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编辑距离的入门题目

dp解法
1.状态定义

dp[i][j]定义为以下标i-1, j-1为结尾的字符串S 和 字符串T 的相同子序列的长度
dp数组仍然是多开一个空位，便于后序初始化

2.状态转移

if (s[i - 1] == t[j - 1])，
那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;，因为找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1

if (s[i - 1] != t[j - 1])，
此时相当于t要删除元素，t如果把当前元素t[j - 1]删除，那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了，即：dp[i][j] = dp[i][j - 1];

3.base case

dp[0][0] 和 dp[i][0]， 和空子串相同子序列的长度肯定是0，所以初始化dp全为0就行了

4.遍历顺序以及解的所在

正序遍历，能否判断s 是 t 的子序列只用判断dp[m][n] == len(s), 如果说相同子序列长度等于s本身的长度说明是可以的

时间复杂度：O(n × m)
空间复杂度：O(n × m)

class Solution:def isSubsequence(self, s: str, t: str) -> bool:m, n = len(s), len(t)dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]for i in range(1, m+1):for j in range(1, n+1):if s[i-1] == t[j-1]: dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1else: dp[i][j] = dp[i][j-1]return dp[m][n] == len(s)

115.不同的子序列

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1.状态定义

dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。

2.状态转移

这一类问题，基本是要分析两种情况

s[i - 1] 与 t[j - 1]相等
s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等

当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成：

一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。
一部分是不用s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。

dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];

例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s也可以不用s[3]来匹配，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。

当然也可以用s[3]来匹配，即：s[0]s[1]s[3]组成的bag。

当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时
dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配，即：dp[i - 1][j]

3.base case

从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的

dp[0][j]一定都是0，s如论如何也变成不了t

dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。

那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。

dp[0][0]应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。

4.遍历顺序和解的位置

正序就行，解在dp[m][n]

class Solution:def numDistinct(self, s: str, t: str) -> int:m, n = len(s), len(t)dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]for i in range(m+1):dp[i][0] = 1for j in range(1,n+1):dp[0][j] = 0for i in range(1, m+1):for j in range(1, n+1):if s[i-1] == t[j-1]: dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]else: dp[i][j] = dp[i-1][j]return dp[m][n]